الاشتقاق والتقييم
أوجد التكامل:
\[ \int \cos^3 x \, dx \]
اكتب التكامل عن طريق فصل عامل جيب تمام منفرد:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cos x \, dx \]
استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) لإعادة كتابة دالة التكامل:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \]
افرد دالة التكامل وقسم التكامل إلى جزأين:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx \]
استخدم التكامل بالتعويض للحد الثاني: ليكن \( u = \sin x \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) أو \( du = \cos x \, dx \). التعويض عن ذلك ينتج:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int u^2 \, du \]
استخدم صيغ التكامل القياسية لتقييم كل تكامل:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]
حيث \( c \) هو ثابت التكامل.
عوض مرة أخرى بـ \( u = \sin x \) لإيجاد النتيجة النهائية:
صيغة التكامل لـ \( \cos^3 x \):
\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} \sin^3 x + c \]
المزيد من المراجع والروابط
- جدول صيغ التكامل
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8